Całka Riemanna Funkcje całkowalne Wartość bezwzględna całki

Własności całki Riemanna

Przedstawimy teraz kilka podstawowych własności całki oznaczonej wynikających bezpośrednio z jej definicji.

Twierdzenie 1: o całkowalności funkcji ciągłej w podprzedziale jej przedziału określoności

Funkcja całkowalna $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ jest całkowalna w każdym podprzedziale $ [\alpha, \beta] $ przedziału $ [a,b] $.

Twierdzenie 2: o całkowalności funkcji wartości bezwzględnej

Jeżeli funkcja $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ jest całkowalna, to całkowalna jest również funkcja

$ |f|: [a,b] \ni x \mapsto |f(x)| \in \mathbb{R}. $

Twierdzenie 3: o podstawowych działaniach na funkcjach całkowalnych

Jeżeli funkcje $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ oraz $ g:[a,b] \to \mathbb{R} $ są całkowalne, natomiast $ c $ jest liczbą rzeczywistą, to funkcje:

$ \begin{aligned}f+g &: [a,b] \ni x \mapsto f(x)+g(x) \in \mathbb{R},\\ f-g &: [a,b] \ni x \mapsto f(x)-g(x) \in \mathbb{R},\\ f \cdot g &: [a,b] \ni x \mapsto f(x)g(x) \in \mathbb{R}, \\ \frac{f}{g} &: [a,b] \ni x \mapsto \left(\frac{f}{g}\right)(x) \in \mathbb{R} \quad (\mathrm{o~ile} \quad g(x) \neq 0 \quad \mathrm{dla} \quad x \in [a,b]), \\ cf &: [a,b] \ni x \mapsto cf(x) \in \mathbb{R} \end{aligned} $

są również całkowalne w przedziale $ [a,b] $.

Twierdzenie 4: o wyrażeniu całki w postaci sumy całek

Jeżeli $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ jest funkcją całkowalną oraz $ c \in (a,b) $, to zachodzi równość

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^c f(x) dx + \int\limits_c^b f(x) dx. $

$I_1=\int\limits_{a}^c f(x) dx, \quad I_2=\int\limits_{c}^b f(x) dx$

Rysunek 1: $I_1=\int\limits_{a}^c f(x) dx, \quad I_2=\int\limits_{c}^b f(x) dx$

Twierdzenie 5: o nierówności całek

Jeżeli funkcje $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ oraz $ g: [a,b] \to \mathbb{R} $ są całkowalne, a ponadto $ f(x) \leq g(x) $ dla każdego $ x \in [a,b] $,
to

$ \int\limits_a^b f(x) dx \leq \int\limits_a^b g(x) dx. $

$I_1=\int\limits_a^b f(x) dx, \quad I_2=\int\limits_a^b g(x) dx$

Rysunek 2: $I_1=\int\limits_a^b f(x) dx, \quad I_2=\int\limits_a^b g(x) dx$

Dzięki temu rezultatowi, w pewnych szczególnych sytuacjach jesteśmy w stanie porównać wartości rozpatrywanych całek, nawet jeżeli bezpośrednie wyliczenie całek jest trudne lub wręcz niemożliwe.

Przykład 1:

Zauważmy, że

$ \int\limits_0^1 2^{x^3} dx \leq \int\limits_0^1 2^{x^2} dx. $

Istotnie, skoro dla każdego $ x \in [0,1] $ zachodzi nierówność $ x^3 \leq x^2 $, a w konsekwencji $ 2^{x^3} \leq 2^{x^2} $, to porównanie wartości tych całek wynika bezpośrednio z powyższego twierdzenia.

Twierdzenie 6: o dolnym i górnym oszacowaniu całki

Jeżeli $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ jest funkcją całkowalną oraz istnieją takie liczby rzeczywiste $ m $ i $ M $, że $ m \leq f(x) \leq M $ dla każdego $ x \in [a,b] $, to zachodzą nierówności

$ m(b-a) \leq \int\limits_a^b f(x) dx \leq M(b-a). $

$I=\int\limits_a^b f(x) dx$

Rysunek 3: $I=\int\limits_a^b f(x) dx$

Przykład 2:

Oszacujmy wartość całki $ \int_0^2 \sqrt{1+x^4} dx $. Obliczenie tej całki nie byłoby łatwym zadaniem. Zauważmy, że dla każdego $ x \in [0,2] $ zachodzą nierówności $ 0 \leq x^4 \leq 16 $, a zatem $ 1 \leq x^4 +1 \leq 17 $. Ponieważ funkcja pierwiastkowa jest funkcją rosnącą, to

$ 1 \leq \sqrt{x^4 +1} \leq \sqrt{17}. $

Skoro długość przedziału całkowania wynosi 2, to na mocy powyższego twierdzenia dostajemy nastepujące oszacowanie wartości całki:

$ 2 \leq \int\limits_0^2 \sqrt{1+x^4} dx \leq 2\sqrt{17}. $

Twierdzenie 7: o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki

Jeżeli $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ jest funkcją całkowalną, to

$ \Bigg| \int\limits_a^b f(x) dx \Bigg| \leq \int\limits_a^b |f(x)| dx. $

DOWÓD
Zauważmy, że $ -|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)| $ dla każdego $ x \in [a,b] $. Całkując powyższe nierówności w granicach od $ a $ do $ b $, otrzymujemy

$ - \int\limits_a^b |f(x)| dx \leq \int\limits_a^b f(x) dx \leq \int\limits_a^b |f(x)| dx, $

co z własności modułu implikuje żądaną nierówność.
CND.

Konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.

Wniosek 1: o oszacowaniu wartości bezwzględnej całki

Jeżeli $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ jest funkcją całkowalną oraz $ |f(x)| \leq M $ dla każdego $ x \in [a,b] $,
to zachodzi nierówność

$ \Bigg| \int\limits_a^b f(x) dx \Bigg| \leq M(b-a). $

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka